@ -93,7 +93,7 @@ Slutligen, eftersom $\shrodprob$ motsvarar sannolikhetstätheten för att partik
\item Visa grafer över motsvarande sannolikhetsfördelningar för att partikeln skall befinna sig vid olika positioner $x$.
\item Partikelns fullständiga vågfunktion är egentligen även en funktion utav tiden. För en partikel som befinner sig i ett så kallat energiegentillstånd är den fullständiga vågfunktionen $\fullshrodequ$
Dock innebär den extra faktorn $\shrodtime$ inte någon intressant tidsutveckling av sannolikhetsfördelningen eftersom $|\Psi(x, t)|^2= |\psi_n(x)\shrodtime|^2=\shrodprob$. Intressantare blir det om en partikel befinner sig i en superposition av energiegentillstånd, tex: $$\Psi(x, t)= A(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t}+\psi_2(x) e^{-i \frac{E_2}{\hbar}t})$$ För denna vågfunktion, \emph{bestäm konstanten $A$ sådan att}: $$\int_0^L |\Psi(x, t)|^2 dx =1.0$$\emph{Undersök sedan hur sannolikheten att befinna sig i den vänstra delen $0 < x < \frac{L}{2}$, respektive högra $\frac{L}{2} < x < L$ delen av lådan}. Hitta alltså ett uttryck för: $$P(V, t)=\int_0^{\frac{L}{2}}\fullshrodprob dx$$$$P(H, t)=\int_{\frac{L}{2}}^L \fullshrodprob dx$$
Dock innebär den extra faktorn $\shrodtime$ inte någon intressant tidsutveckling av sannolikhetsfördelningen eftersom $|\Psi(x, t)|^2= |\psi_n(x)\shrodtime|^2=\shrodprob$. Intressantare blir det om en partikel befinner sig i en superposition av energiegentillstånd, tex: $$\Psi_{1, 2}(x, t)= A(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t}+\psi_2(x) e^{-i \frac{E_2}{\hbar}t})$$ För denna vågfunktion, \emph{bestäm konstanten $A$ sådan att}: $$\int_0^L |\Psi(x, t)|^2 dx =1.0$$\emph{Undersök sedan hur sannolikheten att befinna sig i den vänstra delen $0 < x < \frac{L}{2}$, respektive högra $\frac{L}{2} < x < L$ delen av lådan}. Hitta alltså ett uttryck för: $$P(V, t)=\int_0^{\frac{L}{2}}\fullshrodprob dx$$$$P(H, t)=\int_{\frac{L}{2}}^L \fullshrodprob dx$$
\item Gör sedan samma sak för superpositionen av energiegentillstånden 1 och 3: $$\Psi(x, t)= A\left(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t}+\psi_3(x)e^{-i \frac{E_3}{\hbar}t}\right)$$\emph{På vilket sätt skiljer de sig? Kan du förklara varför?}
\end{enumerate}
@ -144,7 +144,7 @@ $$
\lambda = \pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}i
$$
Då rötterna för den karakteristiska ekvationen är komplexa ($\in\mathbb{C}$) får vi den \emph{allmäna lösningen}:
Då rötterna för den karakteristiska ekvationen är komplexa ($\in\mathbb{C}$) får vi den \emph{allmäna funktionen}:
$$
\psi_n(x) = e^{ax}\left(C \cos bx + D \sin bx\right) \quad | \quad C,D \in\mathbb{R}, \quad\lambda = a + bi
$$
@ -152,10 +152,10 @@ $$
\psi_n(x) = e^{0}\left( C \cos\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x + D \sin\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x \right)
$$
\begin{equation}\label{psi_gen}
\psi_n(x) = C \cos\left(\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) + D \sin\left(\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right)
\psi_n(x) = C \cos\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) + D \sin\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right)
\end{equation}
Schrödinger ekvationen lyder också att vågfunktionen skall följa både ekvation \ref{shrodequ_con1} och \ref{shrodequ_con2} vilket ger:
För att finna den \emph{partikulära vågfunktionen} måste vi ta hänsyn till villkoren \ref{shrodequ_con1} och \ref{shrodequ_con2} vilket ger:
$$
\begin{cases}
\int_0^L \shrodprob dx\ = 1.0, & P(1) \\
@ -164,7 +164,52 @@ $$
\end{cases}
$$
Givet att $P(1)$ implicerar det att vågfunktion $\psi_n(x)$ area mellan $0$ och $L$ är $1$ och $P(2)$ samt $P(3)$ gäller vilket ger att det är en stående våg och den har därmed ett visst antal våglängder ($\lambda$) i relation till antal noder ($n$).
$P(2)$ och $P(3)$ lyder att sannolikheten att finna partikeln vid $x=0$ eller $x=L$ är $0.0$ vilket ger oss följande ekvation:
$$
\psi_n(0) = C \cos\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}0\right) + D \sin\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}0\right) = 0
$$
$$
\psi_n(0) = C \cos\left(0\right) + D \sin\left(0\right) = 0
$$
$$
\implies\psi_n(0) = D \sin\left(0\right) = 0 \implies C = 0
$$
Vi får därmed att $C=0$ om $P(2)$ skall gälla! Väljer att byta ut $k$ igen till dess ursprungliga uttryck och vi får:
$$
\psi_n(x) = D \sin\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}} x \right), \quad\left[k/\frac{h^2}{8 \pi ^2 m}\right]
$$
$$
\psi_n(x) = D \sin\left( \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} x \right)
$$
$P(2)$ lyder också att vågfunktionen skall vara $0$ när $x=L$ och vi får därmed uttrycket:
$$
\psi_n(L) = D \sin\left( \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} L \right) = 0
$$
$$
\implies\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} L = 0 + \eta\pi\quad | \quad\eta\in\mathbb{N}, \quad /L
$$
$$
\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} = \frac{\eta\pi}{L}
$$
Eftersom sannolikheten för att partikeln skall vara i lådan är alltid $1.0$ ger oss följande villkor $P(1)$ [\ref{shrodequ_con2}] och vi behöver därmed \emph{normalisera} vågfunktionen. Vi behöver alltså göra så att sannolikheten för att partikeln skall vara mellan $x=0$ och $x=L$ är $1$. Den är alltså alltid \emph{i lådan}. D.v.s. följande:
$$
\int_0^L \shrodprob dx\ = 1.0
$$
$$
\implies\shrodprob = \left( D\sin\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right)^2
= D^2 \sin^2 \left( \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right), \quad\left[ \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} / \frac{\eta\pi}{L}
\right]
$$
$$
\shrodprob = D^2 \sin^2 \left( \frac{\eta\pi}{L} x \right)
