diff --git a/ma5/uppg/main.aux b/ma5/uppg/main.aux index 31659cc..dcd9524 100644 --- a/ma5/uppg/main.aux +++ b/ma5/uppg/main.aux @@ -24,4 +24,4 @@ \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Uppgiftlösningar}{3}{section.2}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}1}{3}{subsection.2.1}\protected@file@percent } \newlabel{psi_gen}{{4}{3}{1}{equation.2.4}{}} -\gdef \@abspage@last{3} +\gdef \@abspage@last{4} diff --git a/ma5/uppg/main.fdb_latexmk b/ma5/uppg/main.fdb_latexmk index 33ad648..c46b73e 100644 --- a/ma5/uppg/main.fdb_latexmk +++ b/ma5/uppg/main.fdb_latexmk @@ -1,5 +1,5 @@ # Fdb version 3 -["pdflatex"] 1648197602 "main.tex" "main.pdf" "main" 1648197603 +["pdflatex"] 1648204591 "main.tex" "main.pdf" "main" 1648204592 "/usr/share/texmf-dist/fonts/map/fontname/texfonts.map" 1640600964 3524 cb3e574dea2d1052e39280babc910dc8 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/cmextra/cmex7.tfm" 1640600964 1004 54797486969f23fa377b128694d548df "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam10.tfm" 1640600964 916 f87d7c45f9c908e672703b83b72241a3 "" @@ -79,9 +79,9 @@ "/usr/share/texmf-dist/web2c/texmf.cnf" 1640600964 39911 2da6c67557ec033436fe5418a70a8a61 "" "/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map" 1647853768 4243317 6cd4c1d3b72728bfa7db8ef2e14c0430 "" "/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1647853732 2920113 d8a499937a1239664546ceed552c7509 "" - "main.aux" 1648197603 1487 fb7c16d444f214833ecdbbb82b7231ba "pdflatex" - "main.out" 1648197603 561 7f4a6e130b4a0841f3a3fe085e8f354a "pdflatex" - "main.tex" 1648197601 6741 394f9294233258ba714af59f2aea32fd "" + "main.aux" 1648204591 1487 a4ec684567e5177a4979c66f29306855 "pdflatex" + "main.out" 1648204591 561 7f4a6e130b4a0841f3a3fe085e8f354a "pdflatex" + "main.tex" 1648204589 8282 525e832095ed42fa62619765c617ec44 "" (generated) "main.aux" "main.log" diff --git a/ma5/uppg/main.log b/ma5/uppg/main.log index 7cfe1da..2de3f28 100644 --- a/ma5/uppg/main.log +++ b/ma5/uppg/main.log @@ -1,4 +1,4 @@ -This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (TeX Live 2021/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2022.3.21) 25 MAR 2022 09:40 +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (TeX Live 2021/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2022.3.21) 25 MAR 2022 11:36 entering extended mode restricted \write18 enabled. file:line:error style messages enabled. @@ -378,23 +378,23 @@ LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 68. File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B ) [1 -{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] (./main.aux) +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] [4] (./main.aux) Package rerunfilecheck Info: File `main.out' has not changed. (rerunfilecheck) Checksum: 7F4A6E130B4A0841F3A3FE085E8F354A;561. ) Here is how much of TeX's memory you used: - 9094 strings out of 478353 - 140884 string characters out of 5854635 - 462010 words of memory out of 5000000 + 9095 strings out of 478353 + 140890 string characters out of 5854635 + 463010 words of memory out of 5000000 27117 multiletter control sequences out of 15000+600000 407459 words of font info for 43 fonts, out of 8000000 for 9000 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 60i,7n,63p,802b,330s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s + 60i,7n,63p,809b,330s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s -Output written on main.pdf (3 pages, 168655 bytes). +Output written on main.pdf (4 pages, 172581 bytes). PDF statistics: - 132 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) - 94 compressed objects within 1 object stream - 16 named destinations out of 1000 (max. 500000) + 137 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 98 compressed objects within 1 object stream + 17 named destinations out of 1000 (max. 500000) 33 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) diff --git a/ma5/uppg/main.pdf b/ma5/uppg/main.pdf index 0c2120a..28fce04 100644 Binary files a/ma5/uppg/main.pdf and b/ma5/uppg/main.pdf differ diff --git a/ma5/uppg/main.synctex.gz b/ma5/uppg/main.synctex.gz index 266446e..1a8d766 100644 Binary files a/ma5/uppg/main.synctex.gz and b/ma5/uppg/main.synctex.gz differ diff --git a/ma5/uppg/main.tex b/ma5/uppg/main.tex index 899c4b0..ff2b538 100644 --- a/ma5/uppg/main.tex +++ b/ma5/uppg/main.tex @@ -93,7 +93,7 @@ Slutligen, eftersom $\shrodprob$ motsvarar sannolikhetstätheten för att partik \item Visa grafer över motsvarande sannolikhetsfördelningar för att partikeln skall befinna sig vid olika positioner $x$. \item Partikelns fullständiga vågfunktion är egentligen även en funktion utav tiden. För en partikel som befinner sig i ett så kallat energiegentillstånd är den fullständiga vågfunktionen $\fullshrodequ$ - Dock innebär den extra faktorn $\shrodtime$ inte någon intressant tidsutveckling av sannolikhetsfördelningen eftersom $|\Psi(x, t)|^2 = |\psi_n(x) \shrodtime|^2 = \shrodprob$. Intressantare blir det om en partikel befinner sig i en superposition av energiegentillstånd, tex: $$\Psi(x, t) = A(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t} + \psi_2(x) e^{-i \frac{E_2}{\hbar}t})$$ För denna vågfunktion, \emph{bestäm konstanten $A$ sådan att}: $$\int_0^L |\Psi(x, t)|^2 dx = 1.0$$ \emph{Undersök sedan hur sannolikheten att befinna sig i den vänstra delen $0 < x < \frac{L}{2}$, respektive högra $\frac{L}{2} < x < L$ delen av lådan}. Hitta alltså ett uttryck för: $$P(V, t) = \int_0^{\frac{L}{2}} \fullshrodprob dx$$ $$P(H, t) = \int_{\frac{L}{2}}^L \fullshrodprob dx$$ + Dock innebär den extra faktorn $\shrodtime$ inte någon intressant tidsutveckling av sannolikhetsfördelningen eftersom $|\Psi(x, t)|^2 = |\psi_n(x) \shrodtime|^2 = \shrodprob$. Intressantare blir det om en partikel befinner sig i en superposition av energiegentillstånd, tex: $$\Psi_{1, 2}(x, t) = A(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t} + \psi_2(x) e^{-i \frac{E_2}{\hbar}t})$$ För denna vågfunktion, \emph{bestäm konstanten $A$ sådan att}: $$\int_0^L |\Psi(x, t)|^2 dx = 1.0$$ \emph{Undersök sedan hur sannolikheten att befinna sig i den vänstra delen $0 < x < \frac{L}{2}$, respektive högra $\frac{L}{2} < x < L$ delen av lådan}. Hitta alltså ett uttryck för: $$P(V, t) = \int_0^{\frac{L}{2}} \fullshrodprob dx$$ $$P(H, t) = \int_{\frac{L}{2}}^L \fullshrodprob dx$$ \item Gör sedan samma sak för superpositionen av energiegentillstånden 1 och 3: $$\Psi(x, t) = A\left(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t} + \psi_3(x)e^{-i \frac{E_3}{\hbar}t}\right)$$ \emph{På vilket sätt skiljer de sig? Kan du förklara varför?} \end{enumerate} @@ -106,65 +106,110 @@ Slutligen, eftersom $\shrodprob$ motsvarar sannolikhetstätheten för att partik Enligt Schrödingers ekvation får vi: $\shrodequ$ där $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ vilket vi kan substituera i ekvationen och vi får följande: $$ - \shrodequ, \quad \left[\hbar / \frac{h}{2\pi}\right] +\shrodequ, \quad \left[\hbar / \frac{h}{2\pi}\right] $$ $$ - E_n\psi_n(x) = - \frac{\left(\frac{h}{2\pi}\right)^2}{2m} \frac{d^2 \psi_n}{dx^2} = - \frac{h^2}{8 \pi^2 m} \left(\frac{d^2 \psi_n}{dx^2}\right) +E_n\psi_n(x) = - \frac{\left(\frac{h}{2\pi}\right)^2}{2m} \frac{d^2 \psi_n}{dx^2} = - \frac{h^2}{8 \pi^2 m} \left(\frac{d^2 \psi_n}{dx^2}\right) $$ där $h$ är Plancks konstant och $m$ är partikelns massa. Väljer därmed att förenkla uttrycket genom att byta ut konstanterna till en variabel (givet att $k = \frac{h^2}{8 \pi ^2 m}$): $$ - E_n\psi_n(x) = - \frac{h^2}{8 \pi ^2 m} \left(\frac{d^2 \psi_n}{dx^2}\right), \quad \left[\frac{h^2}{8 \pi ^2 m}/k\right] +E_n\psi_n(x) = - \frac{h^2}{8 \pi ^2 m} \left(\frac{d^2 \psi_n}{dx^2}\right), \quad \left[\frac{h^2}{8 \pi ^2 m}/k\right] $$ $$ - E_n\psi_n(x) = -k\left(\frac{d^2 \psi_n}{dx^2}\right), \quad + HL +E_n\psi_n(x) = -k\left(\frac{d^2 \psi_n}{dx^2}\right), \quad + HL $$ $$ - E_n\psi_n(x) + k\left(\frac{d^2 \psi_n}{dx^2}\right) = 0 +E_n\psi_n(x) + k\left(\frac{d^2 \psi_n}{dx^2}\right) = 0 $$ Väljer att skriva om differentialekvationen utan Leibnizs notation och vi får: $$ - E_n\psi_n + k \psi_n'' = 0, \quad /E_n +E_n\psi_n + k \psi_n'' = 0, \quad /E_n $$ $$ - \psi_n'' + \frac{E_n}{k}\psi_n = 0 +\psi_n'' + \frac{E_n}{k}\psi_n = 0 $$ Vet att differentialekvationer av andra ordningen har lösningen $y=e^{\lambda x}$ och vi kan därmed beräkna $\lambda$ för vår differentialekvation genom den karakteristiska ekvationen: $$ - \lambda^2 + a\lambda + b = 0 +\lambda^2 + a\lambda + b = 0 $$ där $a$ och $b$ är koefficienterna framför respektive "funktion". I vårt fall är $a=0$ och $b = \frac{E_n}{k}$ och vi får därmed den karakteristiska ekvationen: $$ - \lambda^2 + \frac{E_n}{k} = 0, \quad PQ +\lambda^2 + \frac{E_n}{k} = 0, \quad PQ $$ $$ - \lambda = \pm \sqrt{\frac{E_n}{k}}i +\lambda = \pm \sqrt{\frac{E_n}{k}}i $$ -Då rötterna för den karakteristiska ekvationen är komplexa ($\in \mathbb{C}$) får vi den \emph{allmäna lösningen}: +Då rötterna för den karakteristiska ekvationen är komplexa ($\in \mathbb{C}$) får vi den \emph{allmäna funktionen}: $$ - \psi_n(x) = e^{ax}\left(C \cos bx + D \sin bx\right) \quad | \quad C,D \in \mathbb{R}, \quad \lambda = a + bi +\psi_n(x) = e^{ax}\left(C \cos bx + D \sin bx\right) \quad | \quad C,D \in \mathbb{R}, \quad \lambda = a + bi $$ $$ - \psi_n(x) = e^{0}\left( C \cos \pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x + D \sin \pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x \right) +\psi_n(x) = e^{0}\left( C \cos \pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x + D \sin \pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x \right) $$ \begin{equation} \label{psi_gen} - \psi_n(x) = C \cos \left(\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) + D \sin \left(\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) +\psi_n(x) = C \cos \left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) + D \sin \left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) \end{equation} -Schrödinger ekvationen lyder också att vågfunktionen skall följa både ekvation \ref{shrodequ_con1} och \ref{shrodequ_con2} vilket ger: +För att finna den \emph{partikulära vågfunktionen} måste vi ta hänsyn till villkoren \ref{shrodequ_con1} och \ref{shrodequ_con2} vilket ger: $$ - \begin{cases} - \int_0^L \shrodprob dx\ = 1.0, & P(1) \\ - \psi_n(0) = \psi_n(L) = 0, & P(2) \\ - \psi_n'(0) = \psi_n'(L) = 0, & P(3) - \end{cases} +\begin{cases} + \int_0^L \shrodprob dx\ = 1.0, & P(1) \\ + \psi_n(0) = \psi_n(L) = 0, & P(2) \\ + \psi_n'(0) = \psi_n'(L) = 0, & P(3) +\end{cases} +$$ + +$P(2)$ och $P(3)$ lyder att sannolikheten att finna partikeln vid $x=0$ eller $x=L$ är $0.0$ vilket ger oss följande ekvation: +$$ +\psi_n(0) = C \cos \left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}0\right) + D \sin \left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}0\right) = 0 +$$ +$$ +\psi_n(0) = C \cos \left(0\right) + D \sin \left(0\right) = 0 +$$ +$$ +\implies \psi_n(0) = D \sin \left(0\right) = 0 \implies C = 0 +$$ + +Vi får därmed att $C=0$ om $P(2)$ skall gälla! Väljer att byta ut $k$ igen till dess ursprungliga uttryck och vi får: +$$ +\psi_n(x) = D \sin \left(\sqrt{\frac{E_n}{k}} x \right), \quad \left[k/\frac{h^2}{8 \pi ^2 m}\right] +$$ +$$ +\psi_n(x) = D \sin \left( \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} x \right) +$$ + +$P(2)$ lyder också att vågfunktionen skall vara $0$ när $x=L$ och vi får därmed uttrycket: +$$ +\psi_n(L) = D \sin \left( \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} L \right) = 0 +$$ +$$ +\implies \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} L = 0 + \eta\pi \quad | \quad \eta \in \mathbb{N}, \quad /L +$$ +$$ +\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} = \frac{\eta\pi}{L} +$$ + +Eftersom sannolikheten för att partikeln skall vara i lådan är alltid $1.0$ ger oss följande villkor $P(1)$ [\ref{shrodequ_con2}] och vi behöver därmed \emph{normalisera} vågfunktionen. Vi behöver alltså göra så att sannolikheten för att partikeln skall vara mellan $x=0$ och $x=L$ är $1$. Den är alltså alltid \emph{i lådan}. D.v.s. följande: +$$ +\int_0^L \shrodprob dx\ = 1.0 +$$ +$$ +\implies \shrodprob = \left( D\sin \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right)^2 += D^2 \sin^2 \left( \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right), \quad \left[ \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} / \frac{\eta\pi}{L} +\right] +$$ +$$ +\shrodprob = D^2 \sin^2 \left( \frac{\eta\pi}{L} x \right) +$$ +$$ +\implies \int_0^L \shrodprob dx\ = D^2 \int_0^L \sin^2\left( \frac{\eta\pi}{L} x \right) dx\ = 1.0 $$ -Givet att $P(1)$ implicerar det att vågfunktion $\psi_n(x)$ area mellan $0$ och $L$ är $1$ och $P(2)$ samt $P(3)$ gäller vilket ger att det är en stående våg och den har därmed ett visst antal våglängder ($\lambda$) i relation till antal noder ($n$). \end{document}