<svgversion="1.1"xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"width="800"height="800"><defs/><gtransform="scale(2,2)"><gid="background-bd6aac81"><rectfill="white"stroke="none"x="0"y="0"width="400"height="400"class="dcg-svg-background"/></g><gid="background-images-bd6aac81"/><gid="graphpaper-bd6aac81"><gid="axis-bd6aac81"><gid="yaxis-bd6aac81"><title>Y axis</title><pathfill="none"stroke="rgb(0,0,0)"class="dcg-svg-axis-line"paint-order="fill stroke markers"d=" M 0 0 L 0 400"stroke-opacity="0.9"stroke-miterlimit="10"stroke-width="1.5"stroke-dasharray=""/></g><gid="xaxis-bd6aac81"><title>X axis</title><pathfill="none"stroke="rgb(0,0,0)"class="dcg-svg-axis-line"paint-order="fill stroke markers"d=" M 0 400 L 400 400"stroke-opacity="0.9"stroke-miterlimit="10"stroke-width="1.5"stroke-dasharray=""/></g><g><g><pathfill="none"stroke="rgb(0,0,0)"class="dcg-svg-tickmark"paint-order="fill stroke markers"d=""stroke-opacity="0.9"stroke-miterlimit="2"stroke-width="1.5"stroke-dasharray=""/></g></g></g></g><gid="expressions-bd6aac81"><gid="sketch-bd6aac81"><title>Expression 4</title><pathfill="#6042a6"stroke="none"paint-order="stroke fill markers"d=""fill-opacity="0.4"/><g><pathfill="none"stroke="#6042a6"class="dcg-svg-curve"paint-order="fill stroke markers"d=" M -0.5 399.5 L -0.5 399.5 L 2.72265625 399.3719012233873 L 5.9453125 398.98793307948057 L 9.16796875 398.3490792852697 L 12.48828125 397.4260122649082 L 15.80859375 396.23662922223286 L 19.12890625 394.7841647601199 L 22.44921875 393.072568948108 L 25.8671875 391.0448716088268 L 29.28515625 388.75335554027646 L 32.703125 386.2046245515693 L 36.21875 383.3224705554838 L 39.83203125 380.09403905711764 L 43.4453125 376.60605242618135 L 47.15625 372.7654271672413 L 50.96484375 368.56507141345344 L 54.87109375 364.0004536815544 L 58.97265625 358.94664991846645 L 63.26953125 353.38799085310086 L 67.76171875 347.3147056424843 L 72.546875 340.5843171057904 L 77.8203125 332.8999651442009 L 83.6796875 324.09550503357946 L 90.80859375 313.1100575175706 L 102.91796875 294.13364623472694 L 112.87890625 278.6388148021736 L 119.51953125 268.5691239687731 L 125.0859375 260.3829615697746 L 130.1640625 253.17402164481396 L 134.8515625 246.78008652180984 L 139.24609375 241.0446057046985 L 143.4453125 235.8238138763715 L 147.44921875 231.10345882026837 L 151.35546875 226.7587371397624 L 155.1640625 222.786108806418 L 158.875 219.17924685193555 L 162.48828125 215.92937156462474 L 166.00390625 213.02557424805374 L 169.51953125 210.3854235205417 L 172.9375 208.0790244296469 L 176.35546875 206.03608701803196 L 179.67578125 204.30938631920677 L 182.99609375 202.8415625521667 L 186.31640625 201.63660755705766 L 189.63671875 200.69779828567167 L 192.859375 200.04354292657442 L 196.08203125 199.64409257702405 L 199.3046875 199.5004706190424 L 202.52734375 199.61304500857165 L 205.75 199.98152733278033 L 208.97265625 200.6049735489697 L 212.29296875 201.51228963004823 L 215.61328125 202.68608952536374 L 218.93359375 204.12318101140093 L 222.25390625 205.81965582640788 L 225.57421875 207.77090029916218 L 228.9921875 210.04005143686175 L 232.41015625 212.56701286513933 L 235.92578125 215.42746250295414 L 239.5390625 218.63438184118252 L 243.15234375 222.10173093931775 L 246.86328125 225.9221410834287 L 250.671875 230.1028539110346 L 254.578125 234.64855989778877 L 258.6796875 239.68392930036575 L 262.9765625 245.2249215135484 L 267.46875 251.28162279208777 L 272.25390625 257.99655755239183 L 277.4296875 265.5223115593173 L 283.2890625 274.3102181845784 L 290.3203125 285.1304966849706 L 301.453125 302.5674803176637 L 312.390625 319.6104634842093 L 319.03125 329.7005949319228 L 324.6953125 338.05160538439196 L 329.7734375 345.2813303598877 L 334.4609375 351.69752929371543 L 338.85546875 357.45645591394054 L 343.0546875 362.70187359398096 L 347.05859375 367.4476319899365 L 350.96484375 371.8188489306528 L 354.7734375 375.8188417263382 L 358.484375 379.4537269107905 L 362.09765625 382.732086776793 L 365.61328125 385.66464611430814 L 369.12890625 388.33450333095965 L 372.546875 390.670603200543 L 375.96484375 392.7439629268462 L 379.28515625 394.5008245001843 L 382.60546875 395.99932528549203 L 385.92578125 397.23539001452 L 389.24609375 398.2056571305751 L 392.46875 398.8906970002356 L 395.69140625 399.32110033604783 L 398.9140625 399.49576445519637 L 399.5 399.5"stroke-linecap="round"stroke-linejoin="round"stroke-miterlimit="10"stroke-width="2.5"stroke-opacity="0.9"stroke-dasharray=""/></g></g></g><gid="labels-bd6aac81"/></g></svg>
Ekvationer följda med ett "$,$" och sedan ett uttryck menas att uttrycket utsätts på både höger och vänster led. Uttrycket kan också vara en formel som till exempel "$PQ$" eller "$\text{trig-ettan}$". \emph{Operationer utförs ej på villkor}. Exempel:
$$
2x = 8, \quad /2
$$
$$
x = 4
$$
\subsection{Substitution}
$$
, \quad\left[ a / b \right]
$$
Menas att $a$ byts ut mot $b$ i ekvationen vänster om kommatecknet.
\subsection{Gruppering}
$$
\left\{\text{\emph{uttryck}}\right\}
$$
Menas att allt inom måsvingarna är grupperad och skild från andra uttryck. Kan enbart utföras funktionella operationer på gruppen såsom $\frac{d}{dx}$ eller $\int$.
\newpage
\section{Uppgiftbeskrivning (taget från dokumentet)}
\section{Uppgiftbeskrivning (taget från dokumentet)}
En partikel i en låda är en utav de första tillämpningarna man stöter på när man lär sig om kvantfysik. Man betraktar då en partikel (t.ex. en elektron) som befinner sig i en låda med oändligt höga väggar.
En partikel i en låda är en utav de första tillämpningarna man stöter på när man lär sig om kvantfysik. Man betraktar då en partikel (t.ex. en elektron) som befinner sig i en låda med oändligt höga väggar.
För detta undersöker man partikelns vågfunktion $\wavefun$. Vågfunktionen är i allmänhet en komplex funktion,
För detta undersöker man partikelns vågfunktion $\wavefun$. Vågfunktionen är i allmänhet en komplex funktion,
@ -137,7 +162,7 @@ $$
\lambda^2 + a\lambda + b = 0
\lambda^2 + a\lambda + b = 0
$$
$$
där $a$ och $b$ är koefficienterna framför respektive "funktion". I vårt fall är $a=0$ och $b =\frac{E_n}{k}$ och vi får därmed den karakteristiska ekvationen:
där $a$ och $b$ är koefficienterna framför respektive "funktion". I vårt fall är $a=0$ och $b =\frac{E_n}{k}$ och vi får därmed den \textbf{\emph{karakteristiska ekvationen}}:
$$
$$
\lambda^2 + \frac{E_n}{k} = 0, \quad PQ
\lambda^2 + \frac{E_n}{k} = 0, \quad PQ
$$
$$
@ -145,7 +170,7 @@ $$
\lambda = \pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}i
\lambda = \pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}i
$$
$$
Då rötterna för den karakteristiska ekvationen är komplexa ($\in\mathbb{C}$) får vi den \emph{allmäna funktionen}:
Då rötterna för den karakteristiska ekvationen är komplexa ($\in\mathbb{C}$) får vi den \textbf{\emph{allmänna funktionen}}:
$$
$$
\psi_n(x) = e^{ax}\left(C \cos bx + D \sin bx\right) \quad | \quad C,D \in\mathbb{R}, \quad\lambda = a + bi
\psi_n(x) = e^{ax}\left(C \cos bx + D \sin bx\right) \quad | \quad C,D \in\mathbb{R}, \quad\lambda = a + bi
$$
$$
@ -156,7 +181,7 @@ $$
\therefore\psi_n(x) = C \cos\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) + D \sin\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right)
\therefore\psi_n(x) = C \cos\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) + D \sin\left(\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right)
\end{equation}
\end{equation}
För att finna den \emph{partikulära vågfunktionen} måste vi ta hänsyn till villkoren \ref{shrodequ_con1} och \ref{shrodequ_con2} vilket ger:
För att finna den \textbf{\emph{partikulära vågfunktionen}} måste vi ta hänsyn till villkoren \ref{shrodequ_con1} och \ref{shrodequ_con2} vilket ger:
$$
$$
\begin{cases}
\begin{cases}
\int_0^L \shrodprob dx\ = 1.0, & P(1) \\
\int_0^L \shrodprob dx\ = 1.0, & P(1) \\
@ -191,9 +216,9 @@ $$
$$
$$
\implies\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} L = 0 + \eta\pi\quad | \quad\eta\in\mathbb{N}, \quad /L
\implies\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} L = 0 + \eta\pi\quad | \quad\eta\in\mathbb{N}, \quad /L
$$
$$
$$
\begin{equation}\label{coeff_eq}
\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} = \frac{\eta\pi}{L}
\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} = \frac{\eta\pi}{L}
$$
\end{equation}
Eftersom sannolikheten för att partikeln skall vara i lådan är alltid $1.0$ ger oss följande villkor $P(1)$ [\ref{shrodequ_con2}] och vi behöver därmed \emph{normalisera} vågfunktionen. Vi behöver alltså göra så att sannolikheten för att partikeln skall vara mellan $x=0$ och $x=L$ är $1$. Den är alltså alltid \emph{i lådan}. D.v.s. följande:
Eftersom sannolikheten för att partikeln skall vara i lådan är alltid $1.0$ ger oss följande villkor $P(1)$ [\ref{shrodequ_con2}] och vi behöver därmed \emph{normalisera} vågfunktionen. Vi behöver alltså göra så att sannolikheten för att partikeln skall vara mellan $x=0$ och $x=L$ är $1$. Den är alltså alltid \emph{i lådan}. D.v.s. följande:
$$
$$
@ -201,8 +226,7 @@ $$
$$
$$
$$
$$
\implies\shrodprob = \left( D\sin\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right)^2
\implies\shrodprob = \left( D\sin\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right)^2
= D^2 \sin^2 \left( \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right), \quad\left[ \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} / \frac{\eta\pi}{L}
= D^2 \sin^2 \left( \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right), \quad\left[ \sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}} / \frac{\eta\pi}{L} \right]
\right]
$$
$$
$$
$$
\shrodprob = D^2 \sin^2 \left( \frac{\eta\pi}{L} x \right)
\shrodprob = D^2 \sin^2 \left( \frac{\eta\pi}{L} x \right)
Vi behöver nu beräkna integralen och få fram dess uttryck. Vi använder oss därmed av \emph{u-substitution} och \emph{trigonometriska ettan}. \emph{\textbf{Låt $u =\frac{\eta\pi}{L}x$}}:
Vi behöver nu beräkna integralen och få fram dess uttryck. Vi använder oss därmed av \emph{u-substitution} och \emph{trigonometriska ettan}.
$$
\textbf{\emph{Låt $u =\frac{\eta\pi}{L}x$}}
$$
$$
$$
\int_0^L \sin^2\left( \frac{\eta\pi}{L} x \right) dx\ = \int_0^L \sin^2(u) dx\
\int_0^L \sin^2\left( \frac{\eta\pi}{L} x \right) dx\ = \int_0^L \sin^2(u) dx\
