\documentclass{article}

\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{titling}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\usepackage{multicol}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{braket}

\titleformat{\section}
{\Large\bfseries}
{}
{0em}
{}[\titlerule]

\titleformat{\subsection}
{\large\bfseries}
{}
{0em}
{}
\titlespacing{\subsection}
{0em}{2em}{.4em}

\titleformat{\subsubsection}[runin]
{\bfseries}
{}
{0em}
{}
\titlespacing{\subsubsection}
{0em}{2em}{1em}

\renewcommand{\maketitle}{
	\begin{center}
		{\huge\bfseries\thetitle}\\
		\vspace{1em}
		{\Large\theauthor} \\
		\vspace{1em}
		elalmqvist@gmail.com --- \url{https://wych.dev}
	\end{center}
}


\begin{document}

\title{Anteckningar 2022-04-05}
\author{Elias Almqvist}

\maketitle
\newpage

\section{Inhomogena diff-ekvationer av första-ordningen bevis}

$$
y' + ay = f(x)
$$
$$
\text{Låt } g = y_{p1} - y_{p2}
$$

Där $y_{p1}$ och $y_{p2}$ (antagande) är partikulärlösningar till ekvationen $y' + ay = f(x)$. Alltså är $y_{pn}' + ay_{pn} = f(x)$ Detta ger den homogena ekvationen för $g$:
$$
g' + ag = y_{p1}' - y_{p2}' + a\left(y_{p1} - y_{p2}\right) = \left( y_{p1}' + ay_{p1} \right) - \left( y_{p2}' + ay_{p2} \right)
$$

Eftersom $\left( y_{p1}' + ay_{p1} \right) - \left( y_{p2}' + ay_{p2} \right) = f(x) - f(x)$ får vi att: 
$$
g' + ag = \left( y_{p1}' + ay_{p1} \right) - \left( y_{p2}' + ay_{p2} \right) = f(x) - f(x) = 0
$$

Dvs $g = y_{p1} - y_{p2}$ är en lösning till $y' + ay = 0$

$$
\implies g + y_{p2} = y_{p1}
$$
$$
\therefore y = g + y_{p2} \because g = y_{p1} - y_{p2}
$$

Då $g = y_h$ och $y_{p2} = y_{p}$
$$
y = y_h + y_p \quad \text{V.S.V}
$$

\end{document}
