Ekvationer följda med ett "$,$" och sedan ett uttryck menas att uttrycket utsätts på både höger och vänster led. Uttrycket kan också vara en formel som till exempel "$PQ$" eller "$\text{trig-ettan}$". \emph{Operationer utförs ej på villkor}. Exempel:
$$
2x = 8, \quad /2
$$
$$
x = 4
$$
\subsection{Substitution}
$$
, \quad\left[ a / b \right]
$$
Menas att $a$ byts ut mot $b$ i ekvationen vänster om kommatecknet.
\subsection{Gruppering}
$$
\left\{\text{\emph{uttryck}}\right\}
$$
Menas att allt inom måsvingarna är grupperad och skild från andra uttryck. Kan enbart utföras funktionella operationer på gruppen såsom $\frac{d}{dx}$ eller $\int$.
\section{Uppgiftbeskrivning (taget från dokumentet)}
En partikel i en låda är en utav de första tillämpningarna man stöter på när man lär sig om kvantfysik. Man betraktar då en partikel (t.ex. en elektron) som befinner sig i en låda med oändligt höga väggar.
För detta undersöker man partikelns vågfunktion $\wavefun$. Vågfunktionen är i allmänhet en komplex funktion,
dvs den har både en realdel och en imaginärdel. Vågfunktionens absolutbelopp i kvadrat, $\shrodprob$, representerar täthetsfunktionen för att partikeln skall befinna sig vid läge $x$ i lådan. Om partikeln befinner sig i ett så
\item Partikelns fullständiga vågfunktion är egentligen även en funktion utav tiden. För en partikel som befinner sig i ett så kallat energiegentillstånd är den fullständiga vågfunktionen $\fullshrodequ$
Dock innebär den extra faktorn $\shrodtime$ inte någon intressant tidsutveckling av sannolikhetsfördelningen eftersom $|\Psi(x, t)|^2= |\psi_n(x)\shrodtime|^2=\shrodprob$. Intressantare blir det om en partikel befinner sig i en superposition av energiegentillstånd, tex: $$\Psi_{1, 2}(x, t)= A(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t}+\psi_2(x) e^{-i \frac{E_2}{\hbar}t})$$ För denna vågfunktion, \emph{bestäm konstanten $A$ sådan att}: $$\int_0^L |\Psi(x, t)|^2 dx =1.0$$\emph{Undersök sedan hur sannolikheten att befinna sig i den vänstra delen $0 < x < \frac{L}{2}$, respektive högra $\frac{L}{2} < x < L$ delen av lådan}. Hitta alltså ett uttryck för: $$P(V, t)=\int_0^{\frac{L}{2}}\fullshrodprob dx$$$$P(H, t)=\int_{\frac{L}{2}}^L \fullshrodprob dx$$
\item Gör sedan samma sak för superpositionen av energiegentillstånden 1 och 3: $$\Psi(x, t)= A\left(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t}+\psi_3(x)e^{-i \frac{E_3}{\hbar}t}\right)$$\emph{På vilket sätt skiljer de sig? Kan du förklara varför?}
där $h$ är Plancks konstant och $m$ är partikelns massa. Väljer därmed att förenkla uttrycket genom att byta ut konstanterna till en variabel (givet att $k =\frac{h^2}{8\pi^2 m}$):
Vet att differentialekvationer av andra ordningen har lösningen $y=e^{\lambda x}$ och vi kan därmed beräkna $\lambda$ för vår differentialekvation genom den karakteristiska ekvationen:
där $a$ och $b$ är koefficienterna framför respektive "funktion". I vårt fall är $a=0$ och $b =\frac{E_n}{k}$ och vi får därmed den \textbf{\emph{karakteristiska ekvationen}}:
Eftersom sannolikheten för att partikeln skall vara i lådan är alltid $1.0$ ger oss följande villkor $P(1)$ [\ref{shrodequ_con2}] och vi behöver därmed \emph{normalisera} vågfunktionen. Vi behöver alltså göra så att sannolikheten för att partikeln skall vara mellan $x=0$ och $x=L$ är $1$. Den är alltså alltid \emph{i lådan}. D.v.s. följande:
$$
\int_0^L \shrodprob dx\ = 1.0
$$
$$
\implies\shrodprob = \left( D\sin\sqrt{\frac{8 \pi^2 m E_n}{h^2}}x \right)^2
Eftersom integranden är magnituden av ett komplext tal ges det att man kan se den som en vektor av $\mathbb{R}^2$ vilket i sin tur menas att magnituden är dess längd. Vi kan därmed skriva om magnituden med hjälp av \emph{pythagoras sats} (väljer också att skriva bort "$(x)$" från vågfunktionerna):
