\section{Uppgiftbeskrivning (taget från dokumentet)}
En partikel i en låda är en utav de första tillämpningarna man stöter på när man lär sig om kvantfysik. Man betraktar då en partikel (t.ex. en elektron) som befinner sig i en låda med oändligt höga väggar.
För detta undersöker man partikelns vågfunktion $\wavefun$. Vågfunktionen är i allmänhet en komplex funktion,
dvs den har både en realdel och en imaginärdel. Vågfunktionens absolutbelopp i kvadrat, $\shrodprob$, representerar täthetsfunktionen för att partikeln skall befinna sig vid läge $x$ i lådan. Om partikeln befinner sig i ett så
\item Partikelns fullständiga vågfunktion är egentligen även en funktion utav tiden. För en partikel som befinner sig i ett så kallat energiegentillstånd är den fullständiga vågfunktionen $\fullshrodequ$
Dock innebär den extra faktorn $\shrodtime$ inte någon intressant tidsutveckling av sannolikhetsfördelningen eftersom $|\Psi(x, t)|^2= |\psi_n(x)\shrodtime|^2=\shrodprob$. Intressantare blir det om en partikel befinner sig i en superposition av energiegentillstånd, tex: $$\Psi(x, t)= A(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t}+\psi_2(x) e^{-i \frac{E_2}{\hbar}t})$$ För denna vågfunktion, \emph{bestäm konstanten $A$ sådan att}: $$\int_0^L |\Psi(x, t)|^2 dx =1.0$$\emph{Undersök sedan hur sannolikheten att befinna sig i den vänstra delen $0 < x < \frac{L}{2}$, respektive högra $\frac{L}{2} < x < L$ delen av lådan}. Hitta alltså ett uttryck för: $$P(V, t)=\int_0^{\frac{L}{2}}\fullshrodprob dx$$$$P(H, t)=\int_{\frac{L}{2}}^L \fullshrodprob dx$$
\item Gör sedan samma sak för superpositionen av energiegentillstånden 1 och 3: $$\Psi(x, t)= A\left(\psi_1(x)e^{-i \frac{E_1}{\hbar}t}+\psi_3(x)e^{-i \frac{E_3}{\hbar}t}\right)$$\emph{På vilket sätt skiljer de sig? Kan du förklara varför?}
där $h$ är Plancks konstant och $m$ är partikelns massa. Väljer därmed att förenkla uttrycket genom att byta ut konstanterna till en variabel (givet att $k =\frac{h^2}{8\pi^2 m}$):
Väljer att skriva om differentialekvationen utan Leibnizs notation och vi får:
$$
E_n\psi_n + k \psi_n'' = 0, \quad /E_n
$$
$$
\psi_n'' + \frac{E_n}{k}\psi_n = 0
$$
Vet att differentialekvationer av andra ordningen har lösningen $y=e^{\lambda x}$ och vi kan därmed beräkna $\lambda$ för vår differentialekvation genom den karakteristiska ekvationen:
$$
\lambda^2 + a\lambda + b = 0
$$
där $a$ och $b$ är koefficienterna framför respektive "funktion". I vårt fall är $a=0$ och $b =\frac{E_n}{k}$ och vi får därmed den karakteristiska ekvationen:
$$
\lambda^2 + \frac{E_n}{k} = 0, \quad PQ
$$
$$
\lambda = \pm\sqrt{-\frac{E_n}{k}}
$$
$$
\lambda = \pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}i
$$
Då rötterna för den karakteristiska ekvationen är complexa ($\in\mathbb{C}$) får vi den \emph{allmäna lösningen}:
$$
\psi_n(x) = e^{ax}\left(C \cos bx + D \sin bx\right) \quad | \quad C,D \in\mathbb{R}, \quad\lambda = a + bi
$$
$$
\psi_n(x) = e^{0}\left( C \cos\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x + D \sin\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x \right) = C \cos\left(\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right) + D \sin\left(\pm\sqrt{\frac{E_n}{k}}x\right)
Givet att $P(1)$ implicerar det att vågfunktion $\psi_n(x)$ area mellan $0$ och $L$ är $1$ och $P(2)$ samt $P(3)$ gäller vilket ger att det är en stående våg och den har därmed ett visst antal våglängder ($\lambda$) i relation till antal noder ($n$).
